在如图所示的三角形ABC中，AC=BC，∠C=90°，点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线B

更新时间2022-08-17 09:40:51

在如图所示的三角形ABC中，AC=BC，∠C=90°，点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM，点E在射线NA上，且NE=2NA. 求证BD⊥DE.

作EF⊥AD于F。

∵ BD=2BM，

∴ M是BD的中点。

∵ M是AC的中点，

∴ ABCD是平行四边形。

∴ AD=BC，AD∥BC。

∴ ∠DBC=∠ADB，∠EAD=∠ANC。

∵ EF⊥AD，∴ ∠EFA=90°

∵ ∠C=90，∴ ∠EFA=∠C。

∵ NE=2NA，∴ EA=AN。

∴ ∆EFA≌∆ACN。∴ FA=CN。

∵ N是BC中点，∴ F是AD中点。

∴ ∠EDA=∠EAD。

∵ BC=AC，∴ CM=CN。

∴ ∆MBC≌∆NAC。∴ ∠MBC=∠NAC。

∴ ∠BDE=∠BDA+∠EDA=∠NAC+∠ANC=90°

∴ BD⊥ED