所有奇数的倒数和与所有偶数的倒数和差如何计算？（请不要照搬其他已有问答）

更新时间2022-06-21 16:11:40

我已经知道正确结果但是有俩步过程看不懂，望详解！
（1+1/3+…+1/2k-1)-(1/2+1/4+…1/2n）= 1/k+1    +  1/k+2   +  …   +1/2k（这一步怎么来我没看懂）
（后接）=3k+1 /2  *【1/（k+1）2k + 1/（k+2）（2k-1）+ …+ 1/2k（k+1）】（这一步同样也不懂）
                       只需过程怎么来的解释一遍就是满意采纳

[1+1/3+1/5+……+1/(2k-1)]-[1/2+1/4+1/6+……+1/(2k)]

=(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)++[1/(2k-1)-1/(2k)]

k=1时，

1-1/2=1/2成立

k=2时

1/2+(1/3-1/4)=1/3+(1/2-1/4)=1/3+1/4

k=3时

1/3+1/4+(1/5-1/6)=1/4+1/5+(1/3-1/6)=1/4+1/5+1/6

可见第一个等号是正确的。

证明

[1+1/3+1/5+……+1/(2k-1)]-[1/2+1/4+1/6+……+1/(2k)]

【减法性质：a-b=(a+c)-(b+c)】

=[1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+……+1/(2k-1)+1/(2k)]-2[1/2+1/4+1/6+……+1/(2k)]

=[1+1/2+1/3+……+1/(2k)]-(1+1/2+1/4+……+1/k)

=1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+……+1/(2k)

【颠倒相加，折半】

=[1/(k+1)+1/(2k)]/2+[1/(k+2)+1/(2k-1)]/2+……+[1/(2k)+1/(k+1)]/2

【通分】

={[(2k+(k+1)]/[(k+1)(2k)]}/2+{[2k-1)+(k+2)]/[(k+2)(2k-1)]}/2+……+[(3k+1)/2]/[(2k)(k+1)]

【提公因式】

=[(3k+1)/2]*{1/[(k+1)(2k)+1/[(k+2)(2k-1)+……+1/[(2k)(k+1)]}