x+1/x=3,求x-1/x的值.（包括解题过程）

更新时间2022-06-05 01:01:59

x+1/x=3，x²+1=3x

x²-3x+1=0，x=(3±√5)/2

x₁=(3+√5)/2，x₂=(3-√5)/2

1/x₁=2/(3+√5)=2(3-√5)/(3²-5)=x₂

x₁-1/x₁=x₁-x₂=√5

x₂-1/x₂=x₂-x₁=-√5

∴ x-1/x=±√5

//

原式

=(x²-2x)²-2(x²-2x)-3

=[(x²-2x)+1]*[(x²-2x)-3]

=(x²-2x+1)(x²-2x-3)

=(x-1)²(x+1)(x-3)

解：

x+1/x=3

(x+1/x)²=9

x²+1/x²+2=9

x²+1/x²=7

x²+1/x²-2=7-2

(x-1/x)²=5

x-1/x=±√5

因式分解

(x²-2x)(x²-2x-2)-3

=(x²-2x)²-2(x²-2x)-3（乘法分配率）

=(x²-2x+1)(x²-2x-3)（十字相乘）

=(x-1)²(x+1)(x-3)