高中数学导数

更新时间2022-05-23 10:27:06

此题第二问求详解蟹蟹高中数学导数

2、依题意，y = f(x) - e^(x-1) * ln(ax) - 2e^(x-1)

= ax + xe^(x-1) - e^(x-1) * ln(ax) - 2e^(x-1) > 0；

只要 y 的最小值大于0，即满足要求。

x 是大于0的任意常数，所以要以 a 为变量，求 y 的极小值；

y'(a) = x - e^(x-1)[ x/(ax) ] = x - e^(x-1)/a = 0，驻点 a = e^(x-1)/x；

y''(a) = e^(x-1)/a^2 > 0，a = e^(x-1)/x 是 y 的最小点；

代入，y = e^(x-1) + xe^(x-1) - e^(x-1) * ln[ e^(x-1)/x * x ] - 2e^(x-1)

= xe^(x-1) - e^(x-1)( x - 1 ) - e^(x-1)

= 0；

即只要 a = e^(x-1)/x，就不满足 y > 0；

[ e^(x-1)/x ]' = [ xe^(x-1) - e^(x-1) ]/x^2 = 0，xe^(x-1) = e^(x-1)，x = 1；

e^(x-1)/x 的极小点为 x = 1，e^(x-1)/x = 1；

故满足 y > 0 条件的 a 的取值范围是 0 < a < 1 。