更新时间2022-05-08 00:38:15
已知矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为AD边上的一个动点，连接BE，CE，以BE为直径作圆，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H，直线FH交⊙O点G．当∠FOG=90°时，求AE的长度为什么我算的AE=12/7但是我看了老师的答案，都是有根号的我的证明方法为:
如图，当∠FOG=90°时，连接AO，FO，EF，AG ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90° ∴点O是EB中点 ∴AO=BO=FO ∴圆O过点ABE且AF在同一直线上 ∴∠FOG=90° ∴∠AOG=∠FOH=90° ∴弧AG=弧AG ∴∠AEG=180°-1/2∠AOG=180°-45°=135° ∴∠AOG=∠FOG=90° ∴弧AG=弧GF ∴AG=GF 又∠AGF=90° 将三角形AEG逆时针旋转90°得到三角形A'E'G 则AG与GF重合，连接EF 由旋转可知∠A'E'G=∠AEG=135° ∴EG=GE' 又∠EGE'=90° ∴∠E'EG=∠EE'G=45° 又∠FE'G=135° 所以EE'A'在同一直线上 ∴AE=BF ∴AB∥EF ∴AB=EF 设AE=a 由旋转可知 E'F=AE=a ∴EF=AB=4 ∴EE'=EF-E'F=4-a ∴三角形EGE'是等腰直角三角形 ∴EG=sin45×EE'=4-a/√2 作GI垂直AD ∴∠QEG=135° ∴∠GEI=45° 又∠EIG=90° ∴EI=IG=sin45×EG=4-a/2 ∴AE=a ∴AI=AE+EI=a+4-a/2=4+a/2 ∴∠AGF=90° 又FH垂直EC ∴AG∥EC ∴IG垂直AD 又CD垂直AD ∴IG∥CD ∴三角形AGI〜三角形ECD ∴AI/AD=IG/DC 即（4+a/2）/10=（4-a/2）/4 解得a=12/7 ∴当AE=12/7时 ∠FOG=90° （以上为我的证明方法，随时接受大佬们批评）
方法应该不错，但推导的过程中，有个别小问题。
1，∠AOG=∠FOH=90°， 这一句似是笔误， 应为 ∠FOG
2，EG=sin45×EE'=4-a/√2， 这一句似是少了括号，应为 （4-a）/√2
同理，EI=IG=sin45×EG=4-a/2，这一句似是少了括号，应为 EI=IG=（4-a）/2
3，AI=AE+EI=a+4-a/2=4+a/2， 由2知，这个计算有问题，应为 AI=AE+EI=a+（4-a）/2=(4+a)/2
4，三角形AGI〜三角形ECD ∴AI/AD=IG/DC，这里也有问题，应为 AI/ED=IG/DC
综上，（4+a/2）/10=（4-a/2）/4，这个方程应该是 [（4+a)/2] /（10-a)=[（4-a)/2] / 4
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