如图,在正△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,BD=2CE,

更新时间2022-05-02 16:45:15

如图,在正△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,BD=2CE,过点E作EF⊥DE交BC于点F,连结DF.若想求△ABC的周长,只需知道下列哪个三角形的周长

先说结论：若想求△ABC的周长,只需知道 △BDF的周长

证明：

在AC上取点G，使CE=EG

已知，BD=2CE，所以，BD=CG

已知，△ABC为 正三角形，所以，AB=AC， 所以，AB-BD=AC-CG，即，AD=AG

所以，DG//BC

分别延长BC、DE，交于点H

因，CE=EG，DG//BC

所以，△DEG 全等于 △HEC

所以，CH=DG，EH=ED

已知， EF⊥DE， 

已证， EH=ED，

所以， △FDH 是等腰三角形，所以，FD=FH

即， FD=FC+CH，

已证， CH=DG， 所以，FD=FC+DG

已知，△ABC为 正三角形，

已证，DG//BC

所以，△ADG为 正三角形， 所以， AD=DG

所以，FD=FC+AD

△BDF的周长=BD+BF+FD=BD+BF+（FC+AD）

                   =（BD+AD）+（BF+FC）

                   = AB+BC

即 △BDF的周长 为 正△ABC 的两个边长之和，

即 正△ABC 的周长= 3/2 * △BDF的周长