菱形ABCD中，对角线AC=3，∠ADC=120°，E是AC上一动点，则EA+EB+ED的最小值

更新时间2022-05-02 14:12:06

下图中，AF = AC/2 = 3/2；

DF = AF * tan30° = 3/2 * 1/√3 = √3/2；

由均值不等式，AE + EB + ED ≥ 3 * ³√( AE * EB * ED )，左边三项相等时，等号成立，和有最小值；

故 AE + EB + ED 最小时，AE + EB + ED = 3AE； 

AE^2 = DE^2 = DF^2 + EF^2

= (√3/2)^2 + ( 3/2 - AE )^2

= 3/4 + 9/4 + AE^2 - 3AE

3AE = 3；

AE + EB + ED 最小值为 3 。