已知椭圆c：x*2/a*2y*2/b*2（a大于b大于c）的两焦点为f1f2，点p在椭圆上

更新时间2022-04-10 20:38:31

且pf1=4/3，pf2=14/3，pf1垂直pf2，求椭圆方程，若直线l过圆x*2+y*2+4x-y=0的圆心M交椭圆于A，B两点，且A，B关于点·M对称，求直线l的方程

⑴∵e=c/a=√2/2, ∴c²=b²=a²/2, 椭圆方程变为：x²+2y²=a²(a>b>0), 设P(x,y),则→F1P=(x+c,y),→F2P=(x-c,y),由题意得： x²+y²=(√7/2)²=7/4, (x+c)(x-c)+y²=x²+y²-c²=3/4, 解得c=1,故a²=2,b²=1, ∴椭圆方程为：x²/2+y²=1； --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⑵当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)², 当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1, ∴两圆的切点为点(0,1), 猜想所求的点M为点(0,1),证明如下： ①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)； ②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l：y=kx−1/3, 连立椭圆方程x²/2+y²=1,得： (18k²+9)x²-12kx-16=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则： x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9), →MA=(x1,y1-1),→MB=(x2,y2-1), ∴→MA•→MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1 =(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9 =(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9 =-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9 =0 ∴MA⊥MB,即以AB为直径的圆过点(0,1)． 综上所述,存在一个定点M(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点M． 【解决这类问题时,可以先假设存在这个定点,再通过特殊位置求出这个定点的坐标,最后求证这个定点符合题意．】