复数除法运算法则推导

更新时间2022-04-10 20:01:38

若z₂=0，则z₁/z₂没有意义。

若z₁=0，z₂≠0，则z₁/z₂=0。

若z₁z₂≠0

【1】代数形式

z₁=a+bi，z₂=c+di。

z₁/z₂

=(a+bi)/(c+di)

=(a+bi)(c-di)/[(c+di)(c-di)]

=[(ac+bd)+(bc-ad)]/(c²+d²)

=(ac+bd)/(c²+d²)+[(bc-ad)/(c²+d²)]i

【2】三角形式

z₁=ρ₁(cosα+isinα)，z₂=ρ₂(cosβ+isinβ)。

z₁/z₂

=ρ₁(cosα+isinα)/[ρ₂(cosβ+isinβ)]

=(ρ₁/ρ₂)(cosα+isinα)(cosβ-isinβ)/[(cosβ+isinβ)(cosβ-isinβ)]

=(ρ₁/ρ₂)[(cosαcosβ+sinαsinβ)+(sinαcosβ-cosαsinβ)i]/(cos²β+sin²β)

=(ρ₁/ρ₂)[cos(α-β)+isin(α-β)]

【3】指数形式

z₁=ρ₁e^(αi)，z₂=ρ₂e^(βi)

z₁/z₂

=[ρ₁e^(αi)]/[ρ₂e^(βi)]

=(ρ₁/ρ₂)e^(αi-βi)