探究此函数最小时，x为啥是-1/3

更新时间2022-04-10 19:01:00

y=(2x+1)/√(-x²+2x+1)

1° 定义域是-x²+2x+1>0的解集

x²-2x-1<0，(x-1)²<2。

定义域：1-√2<x<1+√2。

∴ 2x+1>2(1-√2)+1=3-2√2>0。

∴ y>0

2° 设u=y²

u=(2x+1)²/(-x²+2x+1)

u(-x²+2x+1)=4x²+4x+1

(u+4)x²+(-2u+4)x+(-u+1)=0★

a=u+4，b=-2u+4，c=-u+1，

∆=b²-4ac

=(-2u+4)²-4(u+4)(-u+1)

=4[(u²-4u+4)+(u²+3u-4)]

=4(2u²-u)≥0

u≤0或者u≥1/2

3° 当u=1/2时，方程★

9x²+6x+1=0，x₁=x₂=-1/3

y≥y(-1/3)=1/√2

当x=-1/2时，最小值y=1/√2。