在⊿ABC中,已知AB=AC,BD平分∠ABC,AD||BC.求证:∠BAC=2∠BDC.

更新时间2022-03-23 01:38:00

过CD的中点E，作CD的垂直平分线，交BD于点F， 连CF

则三角形 CDF 等腰，CF=DF，∠FCD=∠FDC=∠2

已知，BD平分∠ABC

所以，∠ABD=∠CBD=∠1

已知，AD||BC，所以， ∠CBD=∠ADB=∠1（内错角）

所以，∠ABD=∠ADB， 所以， AB=AD （等腰三角形）

已知， AB=AC， 所以，AC=AD， 所以，三角形ACD等腰

所以，∠1+∠2=∠3+∠2，所以，∠1=∠3

对于 三角形 AOB 和 三角形COF

因为∠1=∠3，又∠AOB=∠COF，所以，三角形 AOB 和 三角形COF 为相似三角形

所以，∠BAC=∠4

因为，∠4是三角形 CDF的外角，所以， ∠4=∠FCD+∠FDC

又因，∠FCD=∠FDC=∠2

所以，∠4=2∠FDC

即，∠BAC=2∠BDC