求这道题详细过程！！！并且第一题可以讲解一下原理

更新时间2022-03-19 23:37:11

f(x)=∫【0，x²】te^(-t)dx

【1】先求定积分

f(x)=∫【0，x²】-tde^(-t)

=-te^(-t)【上限x²，下限0】+∫【0，x²】e^(-t)dt

=-x²e^(-x²)-e^(-t)【上限x²，下限0】

=-x²e^(-x²)-e^(-x²)+1

f'(x)=-2xe^(-x²)-x²(-2x)e^(-x²)+2xe^(-x²)

=2x³e^(-x²)

【2】直接用公式求导

f'(x)=(x²)'te^(-t)|t=x²

=2x*x²e^(-x²)=2x³e^(-x²)

//

当x→+∞时，f'(x)是无穷小量

不是【f(x)是x→+∞时的无穷小量】

lim【x→+∞】f'(x)

=lim【x→+∞】(2x³/e^x²)

【∞/∞型，用罗比塔法则】

=lim【x→+∞】[6x²/(2xe^x²)]

=lim【x→+∞】(3x/e^x²)

=lim【x→+∞】[3/(2xe^x²)]

=0

证明完毕