如图，在○O中，直径AB⊥弦CD于点G，E为DC延长线上一点，BE交○O于点F

更新时间2022-03-19 22:40:13

如图，在○O中，直径AB⊥弦CD于点G，E为DC延长线上一点，BE交○O于点F(1)求证：∠EFC=∠BFD    (2)连接BC,CD,F为半圆弧AB的中点，且tan∠CBD=根号/2，求EF/BF的值

(1)求证：∠EFC=∠BFD

因 ∠EFC+∠BFC=180

又因，B、D、C、F四点共圆，所以， ∠BFC+∠BDC=180，所以，∠EFC=∠BDC

因 直径AB⊥弦CD，所以，AB垂直平分CD

所以，BC=BD，所以，∠BCD=∠BDC

又因，∠BCD与∠BFD为同弦圆周角，所以，∠BCD=∠BFD

所以，∠BFD=∠BDC

所以，∠EFC=∠BFD

(2)求EF/BF的值

因原题中，“tan∠CBD=根号/2”一句似乎写错了，推测应为“tan∠CBD=根号3”

若 tan∠CBD=根号3，则 ∠CBD=60, 则 △BCD 是等边三角形，则 ∠ABC=30

因 ∠CFD 与 ∠CBD同弦，所以，∠CFD=60

因 F为半圆弧AB的中点，所以， ∠ABF=45

因 AB⊥弦CD于点G，E为DC延长线上一点，所以，△EGB是等腰直角三角形，所以，∠GEB=45

所以，∠CBF=45-30=15

所以，∠CDF=15 （同弦圆周角）

已证，AB垂直平分CD，所以 HC=HD，所以，∠HCD=∠CDF=15

在 △CDF 中，已证， ∠CFD=60，∠HCD=∠CDF=15，所以，∠HCF=90

已证， ∠ABF=45，∠GEB=45，∠EFC=∠BFD

所以，△CEF 相似于 △HFB

所以，EF/BF=CF/HF

已证，∠CFD=60，∠HCF=90

所以，CF/HF=1/2

所以，EF/BF=1/2