高数级数题

更新时间2022-02-27 05:36:50

这张图片前两个等号都是怎么化出来的哇

  ∞

  ∑   (n²-n-1)xⁿ

n=2

  ∞           ∞         ∞

=∑  n²x²- ∑  nxⁿ- ∑    xⁿ

n=2       n=2       n=2

    ∞                  ∞                 ∞

=[(∑  n²xⁿ)-x]-[(∑  nxⁿ)-x]-[(∑   xⁿ)-x-xº]

   n=1              n=2             n=0

    ∞           ∞         ∞

=( ∑  n²xⁿ- ∑  nxⁿ- ∑  xⁿ)-(x+1)

  n=1        n=1     n=0

=x(1+x)/(1-x)²-x/(1-x)²-1/(1-x)-(x+1)

【附】

             ∞                       ∞                      ∞

设 f(x)= ∑   n²xⁿ，g(x)= ∑   nxⁿ，h(x)=  ∑  xⁿ，

            n=1                   n=1                  n=0

                     ∞

∫[f(x)/x]dx=  ∑  ∫n²x^(n-1)dx=g(x)

                    n=1

                      ∞

∫[g(x)/x]dx=  ∑   ∫nx^(n-1)dx=h(x)-1

                     n=1

h(x)是首项a(1)=1，公比q=x的等比数列。

h(x)=a(1)/(1-q)=1/(1-x)

h'(x)=(-1)*(-1)/(1-x)²=1/(1-x)²

g(x)=x[h(x)-1]'=xh'(x)=x/(1-x²)

g'(x)=[x/(1-x)²]'=[(1-x)²-x*2(1-x)(-1)]/(1-x)³

=[(1-x)+2x]/(1-x)²=(1+x)/(1-x)²

∴ f(x)=xg'(x)=x(1+x)/(1-x)²

分开的3个级数分别表示为f(x),φ(x),ψ(x)

 第1步看n的变化，应该直接是

 原式=[f(x)-x]-[φ(x)-x]+[ψ(x)-x-1]=f(x)-φ(x)+ψ(x)-x-1(图片中可能有误,第2个级数前面为减号-）

 第2步先看简单的等比数列求和
ψ(x)=1/(1-x)

 从级数形式求导易得φ(x)=xψ'(x)再把ψ(x)=1/(1-x)的导数带入可得φ(x)=x/(1-x)²

 同理，f(x)=xφ'(x)