11X+17Y=11554XY都是整数

更新时间2022-01-21 08:15:12

11x = 11554 - 17y，x = 1050 - y + ( 4 - 6y )/11；

x、y 是整数，所以 m = ( 4 - 6y )/11 是整数；

6y = 4 - 11m，y = ( 4 - 5m )/6 - m；

y、m 是整数， n = ( 4 - 5m )/6 是整数；

5m = 4 - 6n，m = ( 4 - n )/5 - n；

( 4 - n )/5 是整数，n = 5q + 4，q 是整数；

m = ( 4 - 5q - 4 )/5 - 5q - 4 = -6q - 4

y = [ 4 + 5( 6q + 4 ) ]/6 + 6q + 4 = 8 + 11q  

x = 1050 - 8 - 11q + [ 4 - 6( 8 + 11q ) ]/11 = 1038 - 17q

方程整数通解为 x = 1038 - 17q，y = 8 + 11q，q 是整数；

q = -1，x = 1038 + 17 = 1055，y = 8 - 11 = -3；

q = 0，x = 1038，y = 8；

q = 1，x = 1039 - 17 = 1022，y = 8 + 11 = 20；

…… ;

若要求 x、y 是正整数，则

x = 1038 - 17q ≥ 0，q ≤ 61；y = 8 + 11q ≥ 0，q ≥ 0；

即 q 的取值范围是 0 ≤ q ≤ 61 ，方程有62组正整数解 。

11x+17y=11554①

17(x+y)=11554+6x②

//

设x+y=2u③，③代入②

17u=5777+3x=17+3(1920+x)

3(1920+x)=17(u-1)④

//

设1920+x=17k⑤，x=17k-1920⑥

⑤代入④3*17k=17(u-1)，

u-1=3k，u=3k+1⑦

//

⑦代入③x+y=2u=2(3k+1)=6k+2⑧

⑧-⑥y=-11k+1922⑨

(x，y)=(17k-1920，-11k+1922)

当k是整数时，x与y都是整数。

//

17k-1920>0，k>1920/17=113-1/17

-11k+1922>0，k<1922/11=174+8/17

当k是整数，113≤k≤174时，x与y是正整数。