1/(1+3x)(1+x的平方）=A/(1+3x)+(Bx+C)/(1+x的平方），则A+B+C=

更新时间2022-01-19 00:08:12

1/[(1+3x)(1+x²)]≡A/(1+3x)+(Bx+C)/(1+x²)

解一

1≡A(1+x²)+(Bx+C)(1+3x)=(A+3B)x²+(B+3C)x+(A+C)

A+3B=0① B+3C=0② A+C=1③

①-②×3 A-9C=0④

③-④ 10C=1，C=0.1⑤

③-⑤ A=0.9

③-⑤×3 B=-0.3

(A，B，C)=(0.9，-0.3，0.1)

③+⑥ A+B+C=0.7

解二

当x=0时，1=A+C，A+C=1①

当x=1时，1/(4*2)=A/4+(B+C)/2，2A+4(B+C)=1②

当x=-1时，1/(-2*2)=A/(-2)+(-B+C)/2，2A+2(B-C)=1③

②-③ 2B+6C=0，B=-3C④

④代入③ 2A-8C=1⑤

①×2-⑤ 10C=1，C=0.1⑥

①-⑥ A=0.9

⑥代入④ B=-3*0.1=-0.3⑦

(A，B，C)=(0.9，-0.3，0.1)

①+⑦ A+B+C=0.7

A/(1+3x)+(Bx+C)/(1+x^2)

=[A(1+x^2)+(Bx+C)(1+3x)]/[(1+3x)(1+x^2)]

=(A+Ax^2+Bx+3Bx^2+C+3Cx)/[(1+3x)(1+x^2)]

=[(A+3B)x^2+(B+3C)x+(A+C)]/[(1+3x)(1+x^2)]

=1/[(1+3x)(1+x^2)]

所以

A+3B=0

B+3C=0

A+C=1

解方程组，得

A=9/10

B=-3/10

C=1/10

A+B+C=9/10-3/10+1/10=7/10