如果点A,B分别到L的距离为2、6，A,B的水平距离为6，点P为直线L上的一个动点

更新时间2021-09-14 05:36:20

如果点A,B分别到L的距离为2、6，A,B的水平距离为6，点P为直线L上的一个动点，PA PB的最短距离为

两点与直线L都是相对位置，故可以用特殊值简化计算。

设 A( 0，0 )，B( 6，0 )，直线 Ax - y + C = 0；

点A到L的距离  |C|/√[ A^2 + (-1)^2 ) = |C|/√( A^2 + 1 ) = 2，C^2 = 4A^2 + 4；①

点B到L的距离  | 6A + C |/√[ A^2 + (-1)^2 ) = | 6A + C |/√( A^2 + 1 ) = 6，

36A^2 + 12AC + C^2 = 36A^2 + 36；②

②-①*9，36A^2 + 12AC - 8C^2 = 0，( 3A + 2C )( 3A - C ) = 0；

取 C = 3A带入①，9A^2 = 4A^2 + 4，取正值，A= 2/√5，；

直线L  y = (2/√5)x + 6/√5；

点B到L作垂线，垂足为D，则垂线BD y = (-√5/2)x + c，带入B坐标，(-√5/2) * 6 + c = 0，c = 3√5；

在点Ｄ， (2/√5)x + 6/√5 = (-√5/2)x + 3√5，x = 2，y = (2/√5) * 2 + 6/√5 = 2√5；

点B关于L 的对称点 B' 的坐标，x0 = 2 * 2 - 6 = -2，y0 = 2 * 2√5 - 0 = 4√5；

作直线AB'交 L 于 P，则 PA + PB = PA + PB' = AB' 是直线，故此时  PA + PB 距离最短。

最短距离 PA + PB = √AB' = √( x0^2 + y0^2 ) = √( 4 + 80 ) = 2√21 。