已知三角形ABO中，|BO|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是三角形ABO的内切圆上一点，求以

更新时间2018-03-12 08:29:48

PA、PB、PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。

勾3股4弦5，三角形ABO是直角三角形，面积S = 3 * 4 / 2 = 6，半周长 p 为 6；

将其置于平面坐标系，O在原点，A 为 ( 0，3 )，则 B ( 4，0 )；

内切圆半径 r = S/p = 6/6 = 1，圆心 ( 1，1 )，方程  ( x - 1 )^2 + ( y - 1 )^2 = 1；

( y - 1 )^2 = 1 -  ( x - 1 )^2 = 2x - x^2，y = √( 2x - x^2 ) + 1；

点P ( x，y )；则3个直径 d 的长：

dA^2 = ( 0 - x )^2 + ( 3 - y )^2 = x^2 + [ 2 - √( 2x - x^2 ) ]^2；

dB^2 = ( 4 - x )^2 + ( 0 - y )^2 = ( 4 - x )^2 + [ √( 2x - x^2 ) + 1 ]^2；

dO^2 = ( 0 - x )^2 + ( 0 - y )^2 = x^2 + [ √( 2x - x^2 ) + 1 ]^2；

3个圆的面积和 S = (π/4)( dA^2 + dB^2 + dO^2 )

= (π/4) ( 22 - 2x ) = ( 11 - x )  π/2；

x 定义域为 [ 0，2 ]，所以，

三个圆面积之和的最大值为 11π/2，最小值为 9π/2 。