更新时间2018-03-12 08:22:23
在以点O为原点的数轴上，点P表示数30，在O,P之间从左到右依次插入四个表示整数的点A,B,C,D.若在线段OA,OB,OC,OD,DP中。任意相邻两条线段中较长线段与较短线段的长度之差都等，画出符合题意示意图。
例如： 设OA=a，AB,BC,CD,DP各条线段依次增加k，有AB=a+k,BC=a+2k,CD=A+3K,dpa+4k,所以OA+AB+BC+CD+DP=5A+10K,又因为OA+AB+BC+CD+DP=OP=30所以5a+10k=30，所以当k=1时，a=4.
解：设公差为k，则
|OA-AB|=|AB-BC|=|BC-CD|=|CD-DP|=k ①
OA+AB+BC+CD+DP=30 ②
（1）当OA<AB<BC<CD<DP时，式①化为
AB-OA=BC-AB=CD-BC=DP-CD=k ③
式②、③联立，可求得 5OA+10k=30（OA>0-->10k<25-->k<2.5），故有
当k=1时，OA=4，AB=5，BC=6，CD=7，DP=8
当k=2时，OA=2，AB=4，BC=6，CD=8，DP=10
（2）当OA>AB>BC>CD>DP时，式①化为
OA-AB=AB-BC=BC-CD=CD-DP=k ④
式②、④联立，可求得 5DP+10k=30（DP>0-->10k<25-->k<2.5），故有
当k=1时，OA=8，AB=7，BC=6，CD=5，DP=4
当k=2时，OA=10，AB=8，BC=6，CD=4，DP=2
（3）当OA>AB<BC>CD<DP时，式①化为
OA-AB=BC-AB=BC-CD=DP-CD=k ⑤
式②、④联立，可求得 5AB+3k=30（AB>0-->3k<25-->k<25/3=8.33）
分别将k=1，2，3，...，8代入上式，仅有k=5时，AB=3为整数满足要求，此时
OA=AB+k=8，AB=3，BC=OA=8，CD=AB=3，DP=OA=8
（3）当OA<AB>BC<CD>DP时，式①化为
AB-OA=AB-BC=CD-BC=CD-DP=k ⑥
式②、④联立，可求得 5OA+2k=30（OA>0-->2k<25-->k<12.5）
由 OA=(30-2k)/5=整数，可求得 k=5、10时满足要求，故有
当k=5时，OA=4，AB=9，BC=4，CD=9，DP=4
当k=10时，OA=2，AB=12，BC=2，CD=12，DP=2
综上，在O、P（OP=30）之间插入A、B、C、D四个点，使得OA、AB、BC、CD、DP均为整数，且任意相邻两线段之差的绝对值均相等的所有组合如下：
OA=4，AB=5， BC=6， CD=7，DP=8
OA=2， AB=4，BC=6， CD=8， DP=10
OA=8， AB=7， BC=6，CD=5， DP=4
OA=10，AB=8， BC=6，CD=4， DP=2
OA=8， AB=3， BC=8，CD=3， DP=8
OA=4， AB=9， BC=4，CD=9， DP=4
OA=2， AB=12，BC=2，CD=12，DP=2
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