已知椭圆W：x^2/2+y^2=1的左、右焦点分别为F1，F2

更新时间2021-08-16 04:11:44

已知椭圆W：x^2/2+y^2=1的左、右焦点分别为F1，F2.过椭圆W的左焦点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的面积为（）

由方程，a^2 = 2，b^2 = 1，则 c^2 = a^2 - b^2 = 2 - 1 = 1，c = 1，F1坐标为 ( -1，0 )；

tan60° = √3，直线 y = √3x + b；

带入 F1 坐标，-√3 + b = 0，b = √3，y = √3x + √3，y^2 = 3x^2 + 6x + 3；

直线与椭圆交于A，B，故在 A、B处，3x^2 + 6x + 3 = 1 - x^2/2

7x^2 + 12x + 4 = 0，x = ( -6 ± 2√2 )/7；

yA = √3( -6 + 2√2 )/7 + √3 = √3( 1 + 2√2 )/7；

yB = √3( -6 - 2√2 )/7 + √3 = √3( 1 - 2√2 )/7；

S△ABF2 = △AF1F2 + △BF1F2

= yA * 2c/2 + yB * 2c/2

= yA + yB

= √3( 1 + 2√2 )/7 + √3( 1 - 2√2 )/7

= 2√3/7；

△ABF2的面积为 2√3/7 。