一道数学题

更新时间2021-07-09 08:14:52

求1/（2×a^2+x^2）的不定积分，其中a＞0.

若 2×a^2 的 × 是乘号，则

1/(2×a^2 + x^2 )

= 1/ [ 1/(2a^2) ]  * 1/{ 1 + [ x/(√2a) ]^2 }

∫1/(2×a^2 + x^2 ) dx

= [ 1/(2a^2) ] ∫ (√2a)/{ 1 + [ x/(√2a) ]^2 } d [ x/(√2a) ]

= [ √2/(2a) ] arctan[ x/(√2a) ] + C

= √2arctan[ x/(√2a) ]/(2a) + C

若 2×a^2 的 × 是 变量 x，则

1/(2×a^2 + x^2 )

= 1/[ x( 2a^2 + x ) ]

= A/x + B/( 2a^2 + x )，A = 1/(2a^2)，B = -1/(2a^2)

= 1/(2xa^2) - 1/[ (2a^2)( 2a^2 + x ) ]

= 1/(2a^2) [ 1/x - 1/( 2a^2 + x ) ]

∫1/(2×a^2 + x^2 ) dx

= [ 1/(2a^2) ] [ ∫dx/× - ∫d( 2a^2 + x )/( 2a^2 + x )

= [ 1/(2a^2) ] [ ln|x| - ln| 2a^2 + x | ] + C

= ln| x/(2a^2 + x ) | /(2a^2) + C 。

x是变量，a是参数。

在单项式中参数写在变量前面。

结论2×a²应该写成2·a²或者2a²。

∫dx/(2a²+x²)【x=√2*ay】

=∫d√2*ay/(2a²+2a²y²)

=√2*a/(2a²)∫dy/(1+y²)

=[1/(√2*a)]arctany+c

=[1/(√2*a)]arctan[x/(√2*a)]+c

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