老师这个题可以详细讲一下嘛关于椭圆求面积和体积头一次做，不咋熟悉。

更新时间2021-03-29 16:52:48

1、面积

因为对称性，求出第1象限的面积乘以4即可。

图中矩形面积 ds = ydx = (ab)√( 1 - (x/a)^2 ) d(x/a)

故 S = (4ab)∫( 0，a )√( 1 - (x/a)^2 ) d(x/a)

x/a = sinu，√( 1 - (x/a)^2 ) = cosu，d(sinu) = cosudu

= (4ab)∫( 0，π/2 )( cosu)^2 du

= (2ab)∫( 0，π/2 )( 1 + cos2u) du

= (2ab)(π/2) = πab 。

2、绕 x 轴旋转的体积

同样因为对称性，第1象限图形绕 x 轴旋转即半椭球，乘以2即可。

图中矩形绕 x 轴旋转的几何体是厚为 dx 、半径为 y 的圆盘；

圆盘体积 dv = πy^2 * dx = πab^2( 1 - (x/a)^2 )d(x/a)

故 V = 2πab^2∫( 0，a )( 1 - (x/a)^2 )d(x/a)

= 2πab^2[ x/a - (x/a)^3/3 ]( 0，a )

= 2πab^2[ 1 - 1/3 ]

= 4πab^2/3；

3、绕 y 轴旋转的体积

还是因为对称性，第1象限图形绕 y 轴旋转即半椭球，乘以2即可。

从 y 轴向右作横向矩形，宽为 dy，长为 x；

矩形绕 y 轴旋转的几何体是厚为 dy 、半径为 x 的圆盘；

圆盘体积 dv = πx^2 * dy = πa^2b( 1 - (y/b)^2 )d(y/b)；

故 V = 2πa^2b∫( 0，b )( 1 - (y/b)^2 )d(y/b)

= 2πa^2b[ y/b - (y/b)^3/3 ]( 0，b )

= 2πa^2b[ 1 - 1/3 ]

= 4πa^2b/3；