椭圆穹顶长轴11米，短轴7米，弓高1米，求其表面积？

更新时间2020-11-21 04:14:18

椭圆穹顶长轴11米，短轴7米，弓高1米，求其表面积？

穹顶底面椭圆方程  x^2/5.5^2 + y^2/3.5^2 = 1，y^2 = (3.5^2)( 1 - x^2/5.5^2 )；①

沿 y 轴的穹顶剖面如下图，h 是沿 y 轴的椭圆穹顶屋脊线高度；

椭圆方程 y^2/3.5^2 + h^2/1 = 1，h^2 = 1 - y^2/3.5^2；

代入①，h^2 = 1 - ( 1 - x^2/5.5^2 ) = x^2/5.5^2；

与 x 轴平行的穹顶剖面如下图：

椭圆离心率平方  e^2 = ( x^2 - h^2 )/x^2 = 1 - h^2/x^2 = 1 - 1/5.5^2 = 117/121；

弧线长 L = 半周长 = πx{ 1 - (e^2)/4 - (3e^4)/64 - (45e^6)/48^2 }

= πx{ 1 - (117/121)/4 - [ 3 * (117/121)^2 ]/64 - [ 45 * (117/121)^3 ]/48^2 }

= 0.69678πx；

弧长积分的2倍即椭圆穹顶表面积。

S = 2 * 0.69678π ∫( 0，5.5 ) xdx

= 0.69678π [x^2]( 0，5.5 )

= 21.0776π

= 66.184 平方米 。