二次解方程

更新时间2020-01-12 15:40:15

这个方程怎么解？给思路也行，谢谢!

2R√( R^2 - r^2 ) = 2r - R^2  两边平方

4R^2( R^2 - r^2 ) = 4r^2 + R^4 - 4r R^2

( 1 + R^2 )r^2 - R^2r - (3/4)R^4 = 0  解方程

√△ = √[ R^4 + 3R^4( 1 + R^2 ) ] = R^2√( 4 + 3R^2 )

r = [ R^2 ± R^2√( 4 + 3R^2 ) ]/[ 2( 1 + R^2 ) ]

= R^2 [ 1 + √( 4 + 3R^2 ) ]/[ 2( 1 + R^2 ) ] 。

注：r > 0，所以根号取正。

(0→1)√((1-r^2)/(1+r^2))*rdr=1/2∫(0→1)√(1-r^4)/(1+r^2)d(r^2)令r^2=sint则原式=1/2∫(0→π/2)cost/(1+sint)*costdt=1/2∫(0→π/2)(1-sin^2(t)/(1+sint)dt=1/2∫(0→π/2)(1-sint)dt=1/2t|(0→π/2)+1/2cost|(0→π/2)=π/4-1/2

将R2+2r移项到右侧，同时平方，将式子打开，合并同类项。

要注意，把要求的r当做未知数进行合并，也就是把r提出来，系数中含有R。

最后将各项按r的降幂排列，可以得到一个二次方程，系数以及常数项含有R。

因为R已知，利用求根公式进行计算r即可。

2R*√（R²-r²)=(2r-R²)

4R²*(R²-r²)=4r²-4rR²+R²

(4+4R²)r²-4R²r-3R²=0

r=(4R²±√[16R^4+4*4(1+R²)*3R²])/2*4(1+R²)

=(R²±√[R^4+3R^4+3R²])/2(1+R²)

=[R²±R√(4R²+3)]/2(1+R²)

移项，有2R√(R²-r²)=-R²+2r，两边同时平方，得4R²(R²-r²)=(-R²+2r)²，即

4R⁴-4R²r²=R⁴-4R²r+4r²

故得4(R²+1)r²-4R²r-3R⁴=0

这是关于r的一元二次方程，判别式Δ=16R⁴+48R⁴(R²+1)=16R⁴(3R²+4)>0，所以有

r₁,₂=[4R²±4R²√(3R²+4)]/8(R²+1)

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