为什么相似矩阵对角化的P是特征向量组

更新时间2019-12-24 10:51:06

设P=(X1，X2，......,Xn),其中 X1，X2，......,Xn是矩阵P的n个列向量，又设P的n个特征值为，a1,a2,......,an

因为由你的条件等式两边都左乘矩阵P就得到

AP=Pdiag(a1,a2,...an)            diag{a1,a2,...an}表示已特征值 a1,a2,...an为对角线元素的对角矩阵 

即       A（X1 ,  X2 ,......,Xn）=（X1 ,  X2 ,......,Xn）diag{a1,a2,...an}

由矩阵乘法规则即得  AX1=a1X1，   AX2=a2X2，......,AXn=anXn

所以  X1，X2，......,Xn分别是对应于特征值a1,a2,...an的特征向量

你题中是n=3的情况

所以要解决一个矩阵与对角矩阵的相似问题并求出相似变换矩阵P，关键就是求出矩阵的特征值和它对应的特征向量，如果一个n阶方阵的n个特征值对应的特征向量组正好有n个线性无关的特征向量，那么这个矩阵就与对角矩阵相似，而这个特征向量组正好是所求的相似变换矩阵的n个列向量，相应的n个特征值正好就是所得的对角矩阵，否则，如果他没有n个线性无关的特征向量，这个矩阵就不可能与对角矩阵相似