拉格朗日乘数法解方程

更新时间2019-12-22 20:49:01

设L(x,y,z,λ)=xyz+λ(ax+by+cz-2S)

求偏导数

∂L/∂x=yz+aλ=0                   (1)

∂L/∂y=xz+bλ=0                   (2)

∂L/∂z=xy+cλ=0                    (3)

∂L/∂λ=ax+by+cz-2S=0        (4)

由式(1)~(3)，可得

(ax-by)λ=0

(cz-by)λ=0

显然λ≠0，否则得x=y=z=0，与题设矛盾。所以，有

ax=by=cz

不妨设ax=by=cz=k，则由式(4)得

k=(2/3)S

从而得

x=(2/3)S/a

y=(2/3)S/b

z=(2/3)S/c

故其最大值为

fmax=(8/27)*S³/(abc)

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