试证明齐次方程组的所有解向量形成的向量空间与齐次方程组方程的系数构成的向量张成的子空间正交

更新时间2019-12-05 14:10:36

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设齐次线性方程组Ax=0的解空间的基为η₁，η₂，…，ηr，记V=L(η₁，η₂，…，ηr)。

设A=(aij)，令αi为A的第i行，i=1，2，…，n。W=L（α₁，α₂，…，αn）是Rⁿ的一个子空间。显然，有<αi，ηj>=0，i=1，2，…，n；j=1，2，…，r。因而

V=L(η₁，η₂，…，ηr)=L(α₁，α₂，…，αn)^⊥=W^⊥

即V与W正交。